ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\) (có 100 con số trong phép cộng)

ta có : \(100\) chia hết cho \(2;4;5\) và không chia hết cho \(3\) ; \(100\) chia \(3\) dư 2 (*)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=\left(2^1+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))

\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)

\(A=2.3+2^3.3+...+2^{99}.3=3\left(2+2^3+...+2^{99}\right)⋮3\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(3\) (1)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=\left(2^1+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))

\(A=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(A=2\left(1+2+4+8\right)+...+2^{97}\left(1+2+4+8\right)\)

\(A=2.15+...+2^{97}.15=15\left(2+...+2^{97}\right)⋮15\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(15\) (2)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=\left(2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{99}\right)\)(vì(*))

\(A=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(A=2\left(1+2+4+8+16\right)+...+2^{96}\left(1+2+4+8+16\right)\)

\(A=2.31+...+2^{96}.31=31\left(2+...+2^{96}\right)⋮31\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(31\) (3)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=2+2^2+\left(2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))

\(A=2+2^2+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=2+4+2^3\left(1+2+4\right)+...+2^{98}\left(1+2+4\right)\)

\(A=6+2^3.7+...+2^{98}.7\)

\(A=6+7\left(2^3+...+2^{98}\right)\)

ta có : \(7\left(2^3+...+2^{98}\right)⋮7\) nhưng \(6\) không trùng với \(7\)

\(\Rightarrow A\) không chia hết cho \(7\) và \(6< 7\) \(\Rightarrow\) \(6\) là số dư khi \(A\) chia cho \(7\) (4)

từ (1);(2);(3)và(4) ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

chia hết cho \(3;15;31\) nhưng không chia hết cho \(7\) và số dư của \(A\) chia \(7\) là \(6\) (đpcm)

chia thành từng bộ ba thì tổng của 99 số hạng sau chia hết cho 7 
A = 2 + (2^2+2^3+2^4) +..+ (2^98+2^99+2^100) 
A = 2 + 7.2^2 +..+ 7.2^98 => A chia 7 dư 2 

chia thành từng bộ ba thì tổng của 99 số hạng sau chia hết cho 7 
A = 2 + (2^2+2^3+2^4) +..+ (2^98+2^99+2^100) 
A = 2 + 7.2^2 +..+ 7.2^98 => A chia 7 dư 2 

1)

a)\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)

Vì \(3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)chia hết cho 3 nên \(B⋮3\)

\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+.....+\left(3^{1988}+3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+.....+3^{1988}\left(1+3^2+3^4+3^6\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3.820+.....+3^{1988}.820\)

\(\Leftrightarrow B=3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\)

Vì \(3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\) chia hết cho 41 nên \(B⋮41\)

a) \(A=1+2+2^2+...+2^{41}\)

\(2A=2+2^2+...+2^{42}\)

\(2A-A=2+2^2+...+2^{42}-1-2-2^2-...-2^{41}\)

\(A=2^{42}-1\)

b) \(A=1+2+2^2+...+2^{41}\)

\(A=\left(1+2\right)+\left(2^2+2^3\right)+...+\left(2^{40}+2^{41}\right)\)

\(A=3+2^2\cdot3+...+2^{40}\cdot3\)

\(A=3\cdot\left(1+2^2+...+2^{40}\right)\)

Vậy A ⋮ 3

__________

\(A=1+2+2^2+...+2^{41}\)

\(A=\left(1+2+2^2\right)+...+\left(2^{39}+2^{40}+2^{41}\right)\)

\(A=7+...+2^{39}\cdot7\)

\(A=7\cdot\left(1+..+2^{39}\right)\)

Vậy: A ⋮ 7

c) \(A=1+2+2^2+...+2^{41}\)

\(A=\left(1+2^2\right)+\left(2+2^3\right)+...+\left(2^{38}+2^{40}\right)+\left(2^{39}+2^{41}\right)\)

\(A=5+2\cdot5+...+2^{38}\cdot5+2^{39}\cdot5\)

\(A=5\cdot\left(1+2+...+2^{39}\right)\)

A ⋮ 5 nên số dư của A chia cho 5 là 0 

         A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴¹

       2A =  2 + 2² + 2³ + 2⁴ +...+ 2⁴²

a, 2A - A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴+...+ 2⁴² - (1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴¹)

      A   = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +...+2⁴² - 1 - 2 - 2² - 2³ -...- 2⁴¹

     A  =   2⁴² - 1

b, A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴¹

    A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁴¹

Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 41 dãy số này có: (41- 0):1 + 1 = 42 (số hạng)

Vậy A có 42 hạng tử. Nhóm hai số hạng liên tiếp của A với nhau thành một nhóm, vì 42: 2 = 21 nên

A = (2⁰ + 2¹) + (2² + 2³) +...+ (2⁴⁰ + 2⁴¹)

A = 3 + 2².(1 + 2) +...+ 2⁴⁰.(1 + 2)

A = 3 + 2². 3 +...+ 2⁴⁰. 3

A = 3.(1 + 2² + ... + 2⁴⁰)

Vì 3 ⋮ 3 nên A = 3.(1 + 2² + ... + 2⁴⁰) ⋮ 3 (1)

Vì A có 42 hạng tử mà 42 : 3 = 14 vậy nhóm ba hạng tử liên tiếp của A thành 1 nhóm ta được: 

A = (1 + 2 + 2²) + (2³ + 2⁴ + 2⁵) +...+ (2³⁹ + 2⁴⁰ + 2⁴¹)

A = 7 + 2³.(1 + 2 + 2²) +...+ 2³⁹.(1 + 2 + 2²)

A = 7 + 2³.7 +...+ 2³⁹.7

A = 7.(1 + 2³ +...+ 2³⁹)

Vì 7 ⋮ 7 nên A = 7.(1 + 2³+...+ 2³⁹)⋮ 7 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: A ⋮ 3; 7(đpcm)

c, A = 2⁴² - 1

    A = (2⁴)¹⁰.2² - 1

   A = \(\overline{...6}\)¹⁰.4 - 1

  A = \(\overline{..4}\) - 1

  A = \(\overline{...3}\) 

 Vậy  A : 5 dư 3 

Cậu search mạng chứ gì

Bài 1. Gọi 3 số nguyên liên tiếp là a-1; a; a+1 (a thuộc Z) 
Theo bài ra: a - 1 + a + a + 1 là số lẻ hay 3a là số lẻ 
=> a - 1 và a + 1 là số chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp, tồn tại một số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Do đó (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8. 
Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn tồn tại một số chia hết cho 3. Vì vậy tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3. 
Mà (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8 nên tích (a - 1)a(a + 1) chia hết cho 24. 
Vậy đccm. 

Bài 2. Ta có: ab + cd + ad + bc = (ab + ad) + (bc + cd) = a(b + d) + c(b + d) = (a + c)(b + d). 
Do đó ab + cd + ad + bc chia hết cho a + c với a khác -c. 

Bài 3.a) x có 100 số hạng, chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số, ta có: 
x = (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4 - 3^5 + 3^6 - 3^7) + ... + (3^96 - 3^97 + 3^98 - 3^99) 
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4)(1 - 3 + 3^2 - 3^3) + ... + 3^96(1 - 3 + 3^2 - 3^3) 
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3)(1 + 3^4 + ... + 3^96) 
= -20(1 + 3^4 + ... + 3^96) chia hết cho 20. 
Vậy x chia hết cho 20 (đccm) 
b, Ta có: x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99 
=> 3x = 3 - 3^2 + 3^3 - 3^4 + ... + 3^99 - 3^100 
=> 3x + x = 1 - 3^100 
=> 4x = (1 - 3^100) 
=> x = (1 - 3^100)/4 
c, Vì x = (1 - 3^100)/4 mà x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99 là số nguyên 
nên (1 - 3^100)/ 4 là số nguyên => 1 - 3^100 chia hết cho 4 
=> 1 đồng dư với 3^100 theo môđun 4 hay 3^100 chia 4 dư 1(đccm) 

Bài 4. Ta có: a^2 , b^2 và c^2 là các số chính phương nên a^2, b^2 và c^2 chia 3 dư 0 hoặc 1. 
Nếu trong 3 số a^2, b^2 và c^2 không có số nào chia hết cho 3 thì mỗi số đó đều chia 3 dư 1. 
Do đó tổng a^2 + b^2 + c^2 phải chia hết cho 3. Điều này trái với đầu bài vì a^2 + b^2 + c^2 = 2051, là số chia 3 dư 2. 
Điều này có nghĩa: trong ba số a^2, b^2, c^2 có một số chia hết cho 3. Mà 3 là số nguyên tố nên trog ba số a, b, c có một số chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3

Bài 1. Gọi 3 số nguyên liên tiếp là a-1; a; a+1 (a thuộc Z) 
Theo bài ra: a - 1 + a + a + 1 là số lẻ hay 3a là số lẻ 
=> a - 1 và a + 1 là số chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp, tồn tại một số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Do đó (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8. 
Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn tồn tại một số chia hết cho 3. Vì vậy tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3. 
Mà (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8 nên tích (a - 1)a(a + 1) chia hết cho 24. 
Vậy đccm. 

Bài 2. Ta có: ab + cd + ad + bc = (ab + ad) + (bc + cd) = a(b + d) + c(b + d) = (a + c)(b + d). 
Do đó ab + cd + ad + bc chia hết cho a + c với a khác -c. 

Bài 3.a) x có 100 số hạng, chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số, ta có: 
x = (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4 - 3^5 + 3^6 - 3^7) + ... + (3^96 - 3^97 + 3^98 - 3^99) 
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4)(1 - 3 + 3^2 - 3^3) + ... + 3^96(1 - 3 + 3^2 - 3^3) 
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3)(1 + 3^4 + ... + 3^96) 
= -20(1 + 3^4 + ... + 3^96) chia hết cho 20. 
Vậy x chia hết cho 20 (đccm) 
b, Ta có: x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99 
=> 3x = 3 - 3^2 + 3^3 - 3^4 + ... + 3^99 - 3^100 
=> 3x + x = 1 - 3^100 
=> 4x = (1 - 3^100) 
=> x = (1 - 3^100)/4 
c, Vì x = (1 - 3^100)/4 mà x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99 là số nguyên 
nên (1 - 3^100)/ 4 là số nguyên => 1 - 3^100 chia hết cho 4 
=> 1 đồng dư với 3^100 theo môđun 4 hay 3^100 chia 4 dư 1(đccm) 

Bài 4. Ta có: a^2 , b^2 và c^2 là các số chính phương nên a^2, b^2 và c^2 chia 3 dư 0 hoặc 1. 
Nếu trong 3 số a^2, b^2 và c^2 không có số nào chia hết cho 3 thì mỗi số đó đều chia 3 dư 1. 
Do đó tổng a^2 + b^2 + c^2 phải chia hết cho 3. Điều này trái với đầu bài vì a^2 + b^2 + c^2 = 2051, là số chia 3 dư 2. 
Điều này có nghĩa: trong ba số a^2, b^2, c^2 có một số chia hết cho 3. Mà 3 là số nguyên tố nên trog ba số a, b, c có một số chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3

Cristiano Ronaldo ko thấy đề hỏi c/m đó hay sao mà còn hỏi

Bạn vô đây tham khảo nha Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath